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Prof.: Luiz Gonzaga Damasceno
Matemática Instrumental –2008.1
Aula 5 – Problemas e Sistemas de Equações do 1º grau com uma variável.
Objetivos:
Equacionar problemas de equações do primeiro grau. Resolver problemas de equações do primeiro grau. Resolver sistemas de equações do primeiro grau. Equacionar e resolver problemas envolvendo sistemas de equações do primeiro 7 – Sistemas de Equações do 1º grau. Problemas de Equações do 1º grau
com uma e duas variáveis.
7.1 – Problemas de Equação do primeiro grau
01) A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos. Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos. 02) A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a E-mails:
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Resposta: B tem 25.000 habitantes e A tem 75.000 habitantes. 03) Uma casa com 260m de área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual é a área de cada quarto, se as outras dependências da casa ocupam 140m ? Exercícios:
01) Uma fita de 30 cm de comprimento, serviu para contornar um quadrado, sobrando 2 cm de fita. Qual o comprimento de cada lado do quadrado? 02) O triplo de um número, menos sua metade, é igual a 10. Qual é esse número ? 03) A soma de três número inteiros consecutivos é igual a 111. Calcule esses 04) A soma de minha idade com a do meu pai é 56 anos. Calcule a idade de meu pai, sabendo-se que a idade dele é o triplo da minha menos 8 anos. 05) Um homem deixou 75% de sua herança à esposa e o restante ao filho. A esposa aplicou sua parte a 2,5% ao mês e, depois de um mês, recebeu R$ 1.575,00 de juros. Se o filho aplicou sua parte a 2,15 ao mês, quanto ele recebeu de juros 06) Marcela aplicou metade do seu décimo terceiro salário à taxa de 1,8% ao mês e a outra metade à taxa de 2,4% ao mês. Depois de um mês, recebeu um montante de R$ 1.837,50. Quanto Marcela recebeu de décimo terceiro salário? 07) Um número é composto de 3 algarismos, cuja soma é 18. O algarismo das unidades é o dobro do das centenas e o das dezenas é a soma do das unidades e 08) Num vaso há 12 litros de vinho e 18 litros de água; noutro há 9 litros de vinho e 3 litros de água. Quantos litros se devem tirar de cada vaso, para se obterem 14 litros que contenham partes iguais de água e vinho? E-mails:
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7.2 – Sistemas de Equações do 1º grau.
Um cavalo e um burro caminharam juntos levando no lombo pesados sacos. Lamentava-se o cavalo de sua pesada carga, quando o burro lhe disse: .De que te queixas? Se eu levasse um dos teus sacos, a minha carga seria o dobro. Pelo contrário, se te desse um saco, a tua carga seria igual à minha. Qual a carga de Vamos equacionar o problema, isto é, escrevê-lo na linguagem matemática: Juntando as equações (1) e (2), temos um sistema com duas equações do 1 grau 7.3 – Resolvendo Sistemas de Equações do 1º grau.
Os sistemas de equações do 1 grau são ferramentas bastante comuns na resolução de problemas em várias áreas e aparecem muito em concursos e exames. Resolver um sistema é encontrar um par de valores (x e y) que tornem Por exemplo, o par (5; 7) é solução do sistema Para fazer a verificação, devemos substituir os valores x = 5 e y = 7 em E-mails:
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7.3.1 – Método da adição.
Esse método de resolução consiste em deixar os coeficientes de uma incógnita iguais em valor absoluto e opostos, permitindo assim eliminar uma variável, transformando o sistema em uma equação do primeiro grau, ao somarmos membro a membro as duas equações. Veja o exemplo: Primeiro passo: Como os coeficientes dos têrmos em y são opostos, vamos somar membro a membro as duas igualdades e resolver a equação obtida. Segundo passo: Substituir x = 2 em uma das equações do sistema para encontrar o Exemplo: O problema do cavalo e do burro. Substituindo x = 5 em – x + y = 2 obtemos: 7.3.2 – Método da substituição.
Esse método de resolução consiste em explicitar uma variável em uma das equações, para substituir na outra equação, transformando o sistema em uma equação do primeiro grau. Veja o exemplo: Primeiro passo: Consiste em isolar uma das variáveis em uma das equações E-mails:
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Segundo passo: Substituir na outra equação o valor da variável isolada. Terceiro passo: Substituir x = 2 em uma das equações do sistema para encontrar o Resolver os seguintes sistemas de equações do 1º grau: 01) Num depósito existem 24 extintores de incêndio, sendo de espuma química e dióxido de carbono. Sabendo-se que o de dióxido de carbono é o triplo do de espuma química, conclui-se que o número de extintores de espuma química E-mails:
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E = número de extintores de espuma química D = número de extintores de dióxido de carbono Como queremos o valor de E, basta multiplicar a segunda equação por (-1) e com o método da adição encontraremos o valor de E. O número de extintores de espuma química é de 6 extintores Resp.: (d). 02) Eu tenho o dobro da idade da minha filha. Se a diferença de nossas idades é 23 03) A soma da minha idade com a da minha filha é 72. Daqui a 3anos a minha idade será o dobro da idade da minha filha. A 04) Um barco percorre 9 km em 30 min, navegando a favor da corrente; para regressar ao ponto de partida, demora 3h. Calcule a velocidade do barco e a 05) A soma de dois números é 12 e um deles é o dobro do outro. Encontre os dois 06) A média aritmética de dois números é 2. Um quarto da sua diferença é 4. E-mails:
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07) Um colecionador de moedas antigas tem 48 moedas de R$ 5,00 e de R$ 10,00, num total de R$ 420,00. Quantas moedas de cada valor ele tem? 08) Ana tem 56 anos e André 48. Há quantos anos a soma das duas idades era igual 09) Duas torneiras enchem um tanque em 4 horas. Uma delas, sozinha enche-lo-ia em 7 horas. Em quantas horas a outra sozinha encheria o tanque? 10) Uma torneira enche um tanque em 12 horas e a outra em 18 horas. Em quantas horas as duas juntas encherão o tanque? 11) Dois operários fazem juntos um trabalho em 12 dias. Um deles sozinho faz este trabalho em 20 dias. Em quantos dias, o outro fará, também só, o mesmo trabalho? 12) Num vaso há 12 litros de vinho e 18 litros de água; noutro há 9 litros de vinho e 3 litros de água. Quantos litros se devem tirar de cada vaso, para se obterem 14 litros que contenham partes iguais de água e vinho? 7.4 – Lista de exercícios de Equações do 1º grau e Sistemas de Equações do
1º grau.
01 – Em dois mercados, as condições de equilíbrio de manteiga e margarina, onde x
é o preço da manteiga, e y é o preço da margarina, são dadas pelas equações
abaixo: 8x – 3y = 18 e – x + 7y = 11. Quais os preços da manteiga e da margarina 02 – Um automóvel foi comprado por R$ 20.000,00 e sofre uma desvalorização de 20% ao ano. Qual será seu valor, em reais, após 3 anos? 03 – Quatro cães consomem semanalmente 60 kg de ração. Assim, ao aumentarmos o número de cães em 75%, de quanto será o consumo mensal, em kg, considerando 04 – Uma geladeira é vendida à vista por R$ 1.000,00 ou em duas parcelas, sendo a primeira como uma entrada de R$ 200,00 e a segunda, dois meses após, no valor de R$ 880,00. Qual a taxa mensal de juros simples utilizada? 05 – Um ciclista parte da cidade A em direção a B, ao mesmo tempo em que outro
parte de B em direção a A. A distância entre A e B é 120 km. O primeiro desenvolve
velocidade de 24 km/h e o segundo, 16 km/h. Assim, os ciclistas se encontram ao 06 – Uma prova com 180 questões diferentes foi distribuída a 3 estudantes, A, B e
C, de modo que cada estudante recebeu um bloco com 60 questões distintas. A
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apresentou 90% de acertos nas suas respostas; B respondeu corretamente a 70%
do seu bloco e C errou 80% de suas questões. Desta forma, o número de questões
não resolvidas da prova é de (não resolvidas são as questões que os estudantes não 07 – Se gato e meio comem rato e meio em um minuto e meio, quantos gatos 08) Tem-se galinhas e carneiros, ao todo 21 cabeças e 50 pés. Quantos animais há 09) Num depósito há viaturas de 4 e de 6 rodas, ao todo 40 viaturas e 190 rodas. Quantos viaturas há de cada espécie, no depósito? Referências Bibliográficas:
administração e contabilidade. 5.ed. São Paulo: Editora Atlas, 1999. Viveiro, Tânia Cristina Neto G. Manual Compacto de Matemática: Teoria e Prática. Giovanni, José Rui; Bonjorno, José Roberto; Giovanni Jr., José Rui, Matemática completa: ensino médio – vol. Único, São Paulo : Editora FTD, 2002. Lemos, Aluisio Andrade; Higuchi, Fidefico; Fridman, Salomão, Matemática, São Bezerra, Manoel; Jairo, Questões de Matemática, São Paulo: Editora Nacional, 1976. Sodré, Ulysses; Matemática para o Ensino Fundamental, Médio e Superior; A Biblioteca Virtual do Estudante Brasileiro – Telecurso 2000 - KlickEducação O Portal da Educação - .br E-mails:
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Source: http://www.damasceno.info/damasceno/MeuSite/AulaMatIns05.pdf

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